스털링 근사

드 무아브르-라플라스의 정리를 유도하는 데 스털링 근사가 쓰였다. 다음과 같이 계승(Factorial; 阶乘)의 근사치를 구하는 방법을 스털링 근사(Stirling’s Approximation; 斯特林近似)라고 한다.

$$ n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n $$

스털링 근사는 라플라스 근사와 (해당 글 참조.) 감마함수를 이용하여 유도할 수 있다.

$$ \begin{split} &n!=\Gamma(n+1)=\int_{0}^{\infty}t^{n}e^{-t}\space dt=\int_{0}^{\infty}e^{n(\ln t-\frac{t}{n})}\space dt \\ &\approx e^{n(\ln n-1)}\sqrt{\frac{2\pi}{n\vert-\frac{1}{n^2}\vert}}=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \\[5ex] &\mathrm{Note:\enspace}f(t):=\ln t-\frac{t}{n}, \\ &f^{\prime}(t)=\frac{1}{t}-\frac{1}{n}=0\Rightarrow t_0=n \\ &f^{\prime\prime}(t)=-\frac{1}{t^2},f^{\prime\prime}(t_0)=-\frac{1}{n^2}<0,\forall n\not=0 \\ &f(t_0)=\ln n-1 \end{split} $$

수리통계학에서 계승을 볼 일이 많고, 근사치를 구해야할 때가 많으므로 잘 익혀두자.