감마함수

수리통계학을 공부하는데 감마함수가 자주 등장하므로 따로 정리해둔다. 베타분포에도 나오고, 카이제곱분포에도 나온다.

#1. 정의와 의의

감마함수(Gamma Function; 伽马函数)는 다음과 같이 정의되는 함수다.

$$\Gamma(z):=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}\space dt$$

이렇게 정의하는 의미는 뭘까? 우변의 적분을 계산해보자. 부분적분법을 이용해서 차수를 줄여나가다 보면, 규칙이 보인다.

$\Gamma(z):=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}\space dt=(z-1)!$이다. $(z-1)!$에서 $(z-1)$은 원래 음이 아닌 정수로 정하는데, 적분식 $\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}\space dt$에서 $(z-1)$은 그럴 필요가 없다. 따라서 감마함수는 팩토리얼을 정수범위를 넘어 더 넓은 범위로 확장한 것임을 알 수 있다.

한편, 감마함수의 우변의 적분을 계산하던 도중 자연스럽게 재귀식을 얻을 수 있었다.

$$\begin{split} \int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}\space dt&=(z-1)\int_{0}^{\infty}t^{z-2}e^{-t}\space dt \\ \Gamma(z)&=(z-1)\Gamma(z-1) \\ (z-1)!&=(z-1)\cdot(z-2)!\space(z\in\mathbb{Z}^{+}) \end{split}$$

#2. 중요한 값: $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$

통계학에서 $\Gamma({1/2})$는 매우 중요한 값이다. $\Gamma({1/2})=\sqrt{\pi}$인데, 정규분포의 확률밀도에는 $\sqrt{2\pi}$가 반드시 들어간다. 따라서 정규분포를 가지고 뭔가를 유도하다가 결과물을 감마함수를 포함한 형태로, 또는 감마함수와 연관지어서 정리하기도 한다. 대표적인 것이 카이제곱분포 $\Gamma(n/2,1/2)$이다.

이제 $\Gamma({1/2})=\sqrt{\pi}$을 증명해보자. 우선 다음과 같이 변형해보자.

$$\begin{split} \Gamma(1/2)&=\int_{0}^{\infty}t^{-1/2}e^{-t}\space dt=\int_{0}^{\infty}x^{-1}e^{-x^2}2x\space dx,\space x^2:=t \\ &=2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}\space dx \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\space dx \end{split}$$

식에서 $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\space dx$는 가우스 적분으로, $\sqrt{\pi}$다. 이 적분값은 정규분포의 확률밀도를 유도하면서 구했고(가우스 적분 참조.), 라플라스 근사를 다루면서 이것의 일반형을 써먹었다.

$$\int_{-\infty}^{\infty}\exp \left(-a(x+b)^2\right)\space\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{a}}$$

이렇게 자주 써왔던 중요한 값인 $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\space dx=\sqrt{\pi}$가 하필이면 $\Gamma({1/2})$와 같다는 것이다. 통계학에서 감마함수가 자주 등장할 수 밖에 없는 이유다.