피보나치 수열과 황금비

# 피보나치 수열

피보나치 수열은 다음과 같이 0번째 항과 1번째 항이 각각 0과 1이며, 그 외의 항이 앞의 두 항을 더한 값이 되는 수열이다.

$$\lbrace a_n\rbrace:=0,1,1,2,3,5,8,\cdots$$

피보나치 수열을 이산적인 값을 갖는 함수로 보고, $n$번째 항의 값을 $f(n)$으로 두자. 다시 말해 $f(0)=0$, $f(1)=1$, $f(2)=1$, $f(3)=2$, $\cdots$와 같이 생각한다.

피보나치 수열의 정의에 의해, 다음이 성립한다.

$$\left\{ \begin{alignat*}{4} f(n+2) &=& f(n+1) &+& f(n) \\ f(n+1) &=& f(n+1) \end{alignat*} \right.$$

행렬의 언어로 고치면

$$\begin{bmatrix} f(n+2) \\ f(n+1) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f(n+1) \\ f(n) \end{bmatrix}$$

이것을 간단히 다음과 같이 나타내자.

$$F(n+1)=AF(n)$$

$n=0,1,2$를 대입해보면 다음과 같은 규칙을 발견할 수 있다.

$$\begin{alignat*}{5} F(1) &=& &A& F(0) \\ F(2) &=& &A^2& F(0) \\ F(3) &=& &A^3& F(0) \end{alignat*}$$

따라서 수학적 귀납법을 이용하면 $F(n)=A^nF(0)$이다. 다시 말해

$$\begin{bmatrix} f(n+1) \\ f(n) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&0 \end{bmatrix}^n \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

이 성립하며, 이를 이용해서 피보나치 수열의 일반항 $f(n)$을 구할 수 있다.

이제 행렬의 거듭제곱 $A^n=\begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&0 \end{bmatrix}^n$을 계산하는 일만 남았다. 계산을 쉽게 하기 위해, 스펙트럼 분해를 이용할 것이다. 행렬 $A$의 고유값 $\lambda_i$에 대응하는 고유벡터를 $e_i$로 놓자. 그러면 다음과 같이 $A^n$을 계산할 수 있다.

$$A^n=\begin{bmatrix} e_1&e_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1& \\ &\lambda_2 \end{bmatrix}^n \begin{bmatrix} e_1&e_2 \end{bmatrix}^{-1}$$

고유값의 의미를 간단히 복습해보자. 다음을 만족하는 영벡터가 아닌 벡터 $x$를 행렬 $A$의 고유벡터라고 하고, 이때 $\lambda$를 고유벡터 $x$와 대응하는 고유값이라고 한다.

$$Ax=\lambda x\Longleftrightarrow (A-\lambda I)x=0$$

한편, 제차선형계 $(A-\lambda I)x=0$에서 0벡터가 아닌 해가 존재한다는 것은 계수행렬식이 0이라는 것과 동치이다. 즉, 고유값 $\lambda$는 다음과 같은 특성방정식의 해가 된다.

$$\det(A-\lambda I)=0$$

이 문제의 경우는 다음과 같은 제차선형계를 생각하게 된다.

$$\begin{bmatrix} 1-\lambda&1 \\ 1&-\lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

여기서 관계식 $x_1=\lambda x_2$을 이용해서 적당한 고유벡터 $e_i=\begin{bmatrix} \lambda_i \\ 1 \end{bmatrix}$을 잡을 수 있다. 그러면

$$F(n)=A^nF(0)=\begin{bmatrix} \lambda_1&\lambda_2 \\ 1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1& \\ &\lambda_2 \end{bmatrix}^n \begin{bmatrix} \lambda_1&\lambda_2 \\ 1&1 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} f(n+1) \\ f(n) \end{bmatrix}$$

이 되고, 피보나치 수열의 일반항 $f(n)$을 고유값 $\lambda_i$로 나타낼 수 있다.

$$f(n)=\frac{1}{\lambda_1-\lambda_2}(\lambda_1^n-\lambda_2^n)$$

한편, 피보나치 수열의 경우, 특성방정식은 다음과 같다.

$$\lambda^2-\lambda-1=0$$

이 방정식의 해는 $\lambda_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, $\lambda_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$이고, 피보나치 수열의 일반항은 다음과 같다.

$$f(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]$$

# 황금비

황금비는 다음과 같이 정의되는 상수다.

$$\varphi:=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1.618$$

위 그림처럼 점 $C$가 선분 $\overline{AB}$를 $a:b$로 내분하는 모습을 상상해보자. 이때 만약 다음과 같은 방정식을 만족하면, 내분의 비율 $a:b$는 황금비다.

$$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}\Longleftrightarrow(\frac{a}{b})^2-(\frac{a}{b})-1=0\Longrightarrow\frac{a}{b}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

이런 방정식은 닮음도형의 닮음비에서 많이 관찰할 수 있다. 예를 들어 정오각형의 대각선의 교점은 그 대각선을 황금비로 내분한다. 정오각형에서 이등변삼각형의 닮음 구조가 만들어지기 때문이다.

이 외에도 자연계에서 여러가지 닮음 구조를 가진 곳에서 발견할 수 있다고 한다. 아무튼 신기하고 널리 알려진 숫자여서 디자인 분야에도 응용되기도 한다. 어떤 사람은 이 비율이 가장 아름답다고도 느낀다. 솔직히 어디가 아름다운지는 아직 잘 모르겠다.

# 피보나치 수열과 황금비

한편, 방정식 $\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}$이 $(\frac{a}{b})^2-(\frac{a}{b})-1=0$와 같은 형태로 정리된다는 점에서 황금비와 피보나치 수열의 관계를 찾을 수 있다. 이것은 피보나치 수열의 특성방정식 $\lambda^2-\lambda-1=0$와 똑같은 형태이기 때문이다. 황금비는 피보나치 수열의 양의 고유값이기도 하다.

실제로 피보나치 수열은 황금비와 밀접한 관계가 있다. $n$이 충분히 큰 경우, 피보나치 수열의 어떤 항은 앞의 항의 약 1.618배라고 한다. 딱 황금비만큼 증가하는 것이다.

‘피보나치 수열에서 $n$이 충분히 큰 경우 딱 황금비만큼 증가하는 것’을 수학적으로 표현하면

$$\lim_{n\to\infty}\frac{f(n+1)}{f(n)}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

이다. 진짜 그런지 확인해보자.