확률벡터의 변환

확률변수처럼 확률벡터 역시 변환된 형태로 응용되는 것이 일반적이다. 특히 2차원 확률벡터 $(X,Y)$에 대한 변환이 자주 등장하므로 이를 중심으로 살펴보자.

#1. 이산확률벡터의 변환

최대, 최소변환과 합성곱(Convolution; 卷积)이 대표적이다. 각 게시글 참조.

#2. 연속확률벡터의 변환

연속확률변수 $X$에 변환 $T$를 적용하여 얻은 새로운 연속확률변수 $Y=T(X)$의 확률밀도는 다음과 같이 구한다. (확률변수의 변환 참조.)

$$
f_Y(y)=f_X(T^{-1}(y))\left\vert\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} T^{-1}(y)\right\vert
$$

이것을 2차원으로 일반화 해보자. 확률벡터 $(X,Y)$와 $(U,V)$에 대해 다음과 같은 변환과 역변환이 있다고 하자.

$$
\begin{cases}
U=U(X,Y)
\\
V=V(X,Y)
\end{cases}
,\space
\begin{cases}
X=X(U,V)
\\
Y=Y(U,V)
\end{cases}
$$

$f_{X,Y}$를 알고 있을 때, 새로운 확률밀도 $f_{U,V}$는 다음과 같이 구한다.

$$
f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}(x(u,v),y(u,v))\vert J \vert
$$

---

유도: 이 공식의 유도과정은 공식의 의미만큼이나 중요하다. 여러가지 트릭을 익힐 수 있다.

$$
\begin{split}
F_{U,V}(u,v)&=P(U(X,Y)\le u, V(X,Y)\le v)
\\
&=P((X,Y)\in D),D=\lbrace(X,Y):U(X,Y)\le u,V(X,Y)\le v\rbrace
\\
&=\iint_{D}f_{X,Y}(x,y)dxdy
\\
&=\iint_{D}f_{X,Y}(x(u,v),y(u,v))\vert J \vert dudv
\\
\space
\\
f_{U,V}(u,v)&=\frac{\partial^2}{\partial u \partial v}F_{U,V}(u,v)
\\
&=f_{X,Y}(x(u,v),y(u,v))\vert J \vert
\end{split}
$$

---

$\space$

공식을 관찰하면 1차원 확률변수와 마찬가지로, (1) 이미 알고있는 확률밀도에 역변환을 대입한 것에 (2) 역변환의 미분계수의 절대값을 곱하면 된다는 것을 알 수 있다. $J=\begin{vmatrix}
x^\prime_u & x^\prime_v
\\
y^\prime_u & y^\prime_v
\end{vmatrix}$는 야코비 행렬식(Jacobian Determinant; 雅可比行列式)으로, 미분계수의 2차원 버전으로 여길 수 있다. 비슷한 방식으로 $n$차원 확률벡터의 변환도 생각해볼 수 있다.

확률벡터의 역변환이 유일하지 않거나, 존재하지 않는 경우가 있을 수 있다. 그럴 때는 1차원 확률변수의 변환과 비슷하게, 합으로 나타내거나 확률밀도를 0으로 정의하여 해결한다.