정규분포 모집단의 구간추정

실제로 구간추정이 어떻게 이루어지는지 알아보기 위해, 모집단 $X\sim\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$에서 표본 $X_1,\cdots,X_n$을 추출한 후, 모수 $\mu$와 $\sigma^2$을 구간추정법으로 추정해보자.

# 1. 모평균 $\mu$의 구간추정

# 1.1 모분산 $\sigma^2$을 알고 있을 때

표본평균 $\bar{X}$는 모평균 $\mu$의 불편추정량이므로 추정량으로 삼기에 충분하다. 다만 지금 하려는 것은 구간추정이므로, 다음과 같은 확률이 매우 클 것이라고 생각해보자.

$$P(\bar X-k<\mu<\bar X+k)=1-\alpha$$

다시 말해 먼저 모수 $\mu$의 상한과 하한을 $\bar X\pm k$라고 생각하는 것이다. $k$는 상수이다.

이것을 변형하면

$$P(\frac{-k}{\sigma/\sqrt{n}}<\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}<\frac{k}{\sigma/\sqrt{n}})=1-\alpha$$

이 된다. 모집단 $X\sim\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$이므로 $\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim\mathrm{N}(0,1)$이다. 한편, z분포는 0을 중심으로 좌우대칭이므로 다음이 성립한다. (z분포, 분위수 참조.)

$$P(-z_{\alpha/2}<\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}<z_{\alpha/2})=1-\alpha$$

따라서 $k$를 구할 수 있다.

$$\frac{k}{\sigma/\sqrt{n}}=z_{\alpha/2}\Longrightarrow k=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2}$$

이로써 모수 $\mu$의 신뢰수준 $(1-\alpha)$인 신뢰구간 $(\underline\mu,\overline\mu)$를 구했다.

$$(\underline\mu,\overline\mu)=(\bar X-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2},\bar X+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2})=(\bar X\pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2})$$

이 신뢰구간은 양측 신뢰구간이라고 한다. 상한과 하한을 모두 잡기 때문이다. 그런데 어쩔때는 $(-\infty,\overline\mu)$와 같이 하한만 필요할 수도 있고, $(\underline\mu,\infty)$와 같이 하한만 필요할 수도 있다. 각각 좌측 신뢰구간과 우측 신뢰구간이라고 하며 통틀어 단측 신뢰구간이라고 한다.

모수 $\mu$의 신뢰수준 $(1-\alpha)$인 양, 단측 신뢰구간을 정리하면 다음과 같다. 단측 신뢰구간에서 더 이상 $\alpha/2$가 아니라 $\alpha$임에 주의하자.

$$\begin{split} &양측:(\underline\mu,\overline\mu)=(\bar X\pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2}) \\ &좌측:(-\infty,\overline\mu)=(-\infty,\bar X+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha}) \\ &우측:(\underline\mu,\infty)=(\bar X-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha},\infty) \end{split}$$

특히 양측 신뢰구간에서 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2}$를 표본추출오차(Sampling Error, SE; 样本误差), 줄여서 표본오차라고 한다. 왜 그럴까? $\bar{X}$는 모수 $\mu$의 점추정량이자, 불편추정량이다. 이상적인 상황이라면 $\mu=\bar{X}$를 기대할 수 있다. 하지만 일부인 표본으로 전체인 모집단을 예측하는 데는 항상 오차가 따라 붙고 결국 $\mu=\bar{X}\pm\mathrm{SE}$가 되는 것이다.

점추정량은 특정 수치를 콕 집어서 ‘이거야!’라고 단언하는 반면, 신뢰구간은 일정 범위를 설정하고 ‘이 근처야!’라고 보수적으로 표현하는 것이다. 따라서 구간추정은 점추정의 극단적인 면을 보완한다고 할 수 있다.

# 1.2 모분산 $\sigma^2$을 모를 때

이상의 논의는 모분산 $\sigma^2$을 알고 있을 때 가능하다. 그런데, 실제 응용에서는 모분산 $\sigma^2$를 알고 있는 경우가 매우 드물다.

모분산 $\sigma^2$을 모를 때, 이를 표본분산 $S^2$으로 대체할 수 있다. 표본분산은 모분산의 불편추정량이기 때문이다. t분포의 1번째 정의에 의해 다음이 성립한다. (베셀 보정, t분포 참조.)

$$\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$

이 사실을 통해, 모분산을 모를 때는 대신 표본분산을 이용하고, z분포 대신 t분포를 이용하면 된다는 것을 알 수 있다. t분포도 0을 중심으로 좌우대칭이다.

모수 $\mu$의 신뢰수준 $(1-\alpha)$인 양, 단측 신뢰구간을 다시 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{split} &양측:(\underline\mu,\overline\mu)=(\bar X\pm \frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1)) \\ &좌측:(-\infty,\overline\mu)=(-\infty,\bar X+\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha}(n-1)) \\ &우측:(\underline\mu,\infty)=(\bar X-\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha}(n-1),\infty) \end{split}$$

이때 표본오차는 $\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1)$이 된다.

# 2. 모분산 $\sigma^2$의 구간추정

# 2.1 모평균 $\mu$를 알고 있을 때

모평균 $\mu$를 추정하는 데는 표본평균과 관련된 분포인 z분포와 t분포가 쓰였다. 그렇다면 모분산 $\sigma^2$을 추정하기 위해, 표본분산과 관련된 분포인 카이제곱분포가 등장할 차례다. (카이제곱분포 참조.) 다음 사실을 이용한다.

$$\sum_{i=1}^{n}(\frac{X_i-\mu}{\sigma})^2\sim\chi^2(n)$$

위에서 했던 것 처럼 신뢰수준을 카이제곱분포와 연관짓는다.

$$P\left( \chi^2_{1-\alpha/2}(n)<\sum_{i=1}^{n}(\frac{X_i-\mu}{\sigma})^2<\chi^2_{\alpha/2}(n) \right) =1-\alpha$$

이것을 변형해서 $\sigma^2$이 주인공이 되도록 만든다.

$$P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n)}<\sigma^2<\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n)} \right) =1-\alpha$$

따라서 모수 $\sigma^2$의 신뢰수준 $(1-\alpha)$인 양, 단측 신뢰구간을 정리하면 다음과 같다. 모평균을 사용하는 표본의 2차 중심적률을 $\beta_2:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$으로 나타내자.

$$\begin{split} &양측:(\underline\sigma^2,\overline\sigma^2)=(\frac{n\beta_2}{\chi^2_{\alpha/2}(n)},\frac{n\beta_2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n)}) \\[2ex] &좌측:(-\infty,\overline\sigma^2)=(-\infty,\frac{n\beta_2}{\chi^2_{1-\alpha}(n)}) \\[2ex] &우측:(\underline\sigma^2,\infty)=(\frac{n\beta_2}{\chi^2_{\alpha}(n)},\infty) \end{split}$$

# 2.2 모평균 $\mu$를 모를 때

당연히 이 논의는 모평균 $\mu$를 알고 있을 때 가능한 것이고, 실제 응용에서는 모평균을 아는 경우는 드물기 때문에 $\mu$를 표본평균 $\bar X$로 대체하게 된다. 표본평균은 모평균의 불편추정량이므로 이는 합리적이다.

$\mu$를 표본평균 $\bar X$으로 대체하면, 통계량

$$\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2=n\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2=n\beta_2$$

대신, 다음과 같은 통계량을 사용하게 된다.

$$\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2=(n-1)\cdot\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2=(n-1)S^2$$

그러면 다음과 같은 사실을 이용해서 신뢰구간을 새롭게 구해보자. (‘표본분산의 분포’의 이해와 증명 참조.)

$$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$$

$$\begin{split} &양측:(\underline\sigma^2,\overline\sigma^2)=(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)},\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}) \\[2ex] &좌측:(-\infty,\overline\sigma^2)=(-\infty,\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha}(n-1)}) \\[2ex] &우측:(\underline\sigma^2,\infty)=(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha}(n-1)},\infty) \end{split}$$

# 핵심요약

(1) 모평균 $\mu$의 구간추정에서 그것의 불편추정량인 표본평균 $\bar{X}$를 떠올리고, 표본평균과 관련된 분포인 z분포와 t분포를 이용했다.

(2) 모분산 $\sigma^2$의 구간추정에서 그것의 불편추정량인 $\beta_2$와 $S^2$을 떠올리고, 이와 관련된 분포인 카이제곱분포를 이용했다.

(3) 결국 구간추정의 핵심은 추정하려는 모수를 이미 친숙한 표본추출분포에 잘 끼워맞추는 것이다. 그렇게 해서 상한과 하한을 친숙한 분포의 분위수와 통계량의 조합으로 나타낸다.

(4) 양측일 때는 $\alpha/2$, 단측일 때는 $\alpha$를 쓴다.

(5) 모평균 관련 구간추정에서 상한과 하한은 점추정량 ±표본오차의 형태로 나타났다. 따라서 구간추정은 점추정의 보완적인 방법이다.