다항계수

이항정리

이항정리는 $(y_1+y_2{)}^n$ 같은 이항식의 $n$ 제곱을 어떻게 전개하는가에 관한 정리이다. 내용은 다음과 같다.

$$(y_1+y_2{)}^n=\sum _{n_1,n_2\ge 0}\frac{n!}{n_1!n_2!}{y}_1^{n_1}{y}_2^{n_2},n_1+n_2=n$$

유도 과정:

(1) $(y_1+y_2{)}^n$을 전개하면 최고차항의 차수는 $n$이다. 각 항은 $y_1^{n_1}{y}_2^{n_2}$ 처럼 $n_1$개의 $y_1$과 $n_2$개의 $y_2$의 곱의 형태이다.

(2) 특정 $y_1^{n_1}{y}_2^{n_2}$항은 1개가 아닐 수 있다. 예를 들어 $n=3$일 경우 $y_1^2{y}_2^1$과 같은 항은 총 2개가 존재한다. 이 2개 항을 합하여 정리하면 $2y_1^2{y}_2^1$이라는 항이 전개식에 포함될 것이다.

(3) 그렇다면 $n=3$일 때의 전개식에 어째서 $y_1^2{y}_2^1$과 같은 항이 2개가 존재하는가?

먼저

$$(y_1+y_2{)}^3=(y_1+y_2)(y_1+y_2)(y_1+y_2)=ABC$$

와 같은 형태를 생각하자. $A,B,C$의 3곳에서 2개의 $y_1$을 고르고, 남은 3-2=1곳에서 1개의 $y_2$를 골라 $y_1^2{y}_2^1$를 만드는 경우의 수는 2이기 때문이다.

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})(\genfrac{}{}{0ex}{}{3-2}{1})=\frac{3!}{2!(3-2)!}\cdot \frac{(3-2)!}{1!(3-2-1)!}=\frac{3!}{2!1!}=2$$

(4) 위 사고를 일반화 하면, $y_1^{n_1}{y}_2^{n_2}$의 개수는 다음과 같이 정해진다.

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n_1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-n_1}{n_2})=\frac{n!}{n_1!(n-n_1)!}\cdot \frac{(n-n_1)!}{n_2!(n-n_1-n_2)!}=\frac{n!}{n_1!n_2!}$$

(5) 그리고 모든 가능한 정수 $n_1,n_2$에 대해 $\frac{n!}{n_1!n_2!}{y}_1^{n_1}{y}_2^{n_2}$를 합산한 것이 전체 전개식의 내용이다. 가능한 범위는 다음과 같다.

$$n_1,n_2\ge 0,n_1+n_2=n$$

이항계수

이항 전개식의 각 항의 계수

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n_1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-n_1}{n_2})=\frac{n!}{n_1!n_2!}$$

는 사실 간단히 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n_1})$와 같이 $n_1$만을 사용하여 표현할 수 있다. $n-n_1=n_2$이고, $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-n_1}{n_2})=1$이기 때문이다.

이제 $n_1$대신 $r$, $n_2$ 대신 $n-r$을 사용하여 이항정리를 간단히 하면

$$(y_1+y_2{)}^n=\sum _{r=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})y_1^r{y}_2^{n-r}$$

여기서 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})$을 이항계수라고 한다.

이분법, 이진적인, 바이너리한 케이스를 나타낼 때 항상 이렇게 식을 간단히 할 수 있다. 성공, 실패의 두가지 케이스를 성공과 Not 성공으로 보는 것이다. 성공확률 $p$라는 하나의 변수를 가지고 실패확률 $(1-p)$도 표현 가능하다. 로지스틱 회귀에서도 마찬가지이다. 이항전개에서는 $r$개의 $y_1$과 $(n-r)$개의 $y_1$이 아닌 것으로 모든 경우를 표현했다.

삼항정리, 다항정리

삼항정리는 $(y_1+y_2+y_3{)}^n$ 같이 삼항식의 $n$ 제곱의 전개에 관한 정리이다.

이항정리와 같은 논리로

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n_1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-n_1}{n_2})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-n_1-n_2}{n_3})=\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!}$$

만큼의 $y_1^{n_1}{y}_2^{n_2}{y}_3^{n_3}$ 항이 전개식에 포함된다. 따라서

$$(y_1+y_2+y_3{)}^n=\sum _{n_1,n_2,n_3\ge 0}\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!}{y}_1^{n_1}{y}_2^{n_2}{y}_3^{n_3},n_1+n_2+n_3=n$$

이항정리와 삼항정리를 일반화하여 다항정리를 생각해보자.

$$\begin{array}{r}(y_1+y_2+\cdots +y_k{)}^n=\sum _{n_1,n_2,\cdots ,n_k\ge 0}\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}{y}_1^{n_1}{y}_2^{n_2}\cdots y_k^{n_k},n_1+n_2+\cdots +n_k=n\end{array}$$

다항 전개식의 계수 부분, 즉 $\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}$을 다음과 같이 간단히 표기한다.

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n_1,n_2,\cdots ,n_k}):=\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}$$

이것을 다항계수 (Multinomial Coefficient)라고 부른다.