몬티 홀 문제의 간단한 풀이 (직관 & 계산)

문제:

3개의 커튼이 있고, 커튼 뒤에 물건이 하나씩 있다. 하나는 자동차, 나머지 둘은 쓰레기라고 하자. 참여자는 커튼 하나를 랜덤으로 고르고, 사회자는 참여자가 커튼을 고른 후 쓰레기가 있는 커튼 둘 중 하나를 열어 참여자에게 보여준다 (사회자는 모든 정보를 알고 있기 때문에 항상 이것이 가능하다). 그리고 참여자에게 현재의 선택을 바꿀 기회를 준다.

바꾸는 것이 이득일까? 바꾸지 않는 것이 이득일까? 아니면 차이가 없을까?

---

직관적인 논리:

(1) 선택을 바꾸지 않으면 자동차 획득 확률은 1/3이다.

(2) 선택을 바꾼다고 하자. 처음 골랐던 것이 자동차였다면 반드시 쓰레기를 고르게 되고, 처음 골랐던 것이 쓰레기였다면 나머지 하나의 쓰레기는 사회자가 오픈해주기 때문에 반드시 자동차를 고르게 된다. 즉, 선택을 바꾸는 경우 처음에 쓰레기를 골랐어야 오히려 이득을 본다. 그런데 처음에 쓰레기를 골랐을 확률은 2/3이므로 선택을 바꿔서 이득을 볼 확률도 2/3이다.

따라서 선택을 바꾸고, 처음에 고른 것이 쓰레기였기를 바라는 것이 이득이다.

---

확률 이론을 활용한 계산:

처음 무엇을 고르는가에 관한 샘플 공간은 {자동차, 쓰레기}이고, 각 샘플 포인트에 확률이 1/3, 2/3으로 배분되어 있다.

$$ P(\text{Car})=\frac{1}{3},\quad P(\text{Duds})=\frac{2}{3} $$

따라서 선택을 바꾸지 않을 때 자동차를 얻을 확률은 $P(\text{Car})=\frac{1}{3}$이다.

선택을 바꾸고 나서 자동차를 얻을 (승리할) 확률을 $P(\text{Win})$이라고 하자.

처음 고른 것이 자동차라는 조건에서, 선택을 바꾼다면 자동차를 얻을 확률은 0.

$$ P(\text{Win}\vert \text{Car})=0 $$

처음 고른 것이 쓰레기라는 조건에서, 선택을 바꾼다면 자동차를 얻을 확률은 1.

$$ P(\text{Win}\vert \text{Duds})=1 $$

전체 확률의 법칙에 의해

$$ \begin{split} P(\text{Win})&=P(\text{Win}\vert \text{Car})P(\text{Car})+P(\text{Win}\vert \text{Duds})P(\text{Duds}) \\&=0\times\frac{1}{3}+1\times\frac{2}{3} \\&=\frac{2}{3} \end{split} $$