다항계수

이항정리

이항정리는 $(y_1+y_2)^n$ 같은 이항식의 $n$ 제곱을 어떻게 전개하는가에 관한 정리이다. 내용은 다음과 같다.

$$ (y_1+y_2)^n=\sum_{n_1,n_2\ge0} \frac{n!}{n_1!n_2!}y_1^ {n_1}y_2^{n_2},\quad n_1+n_2=n $$

유도 과정:

(1) $(y_1+y_2)^n$을 전개하면 최고차항의 차수는 $n$이다. 각 항은 $y_1^{n_1}y_2^{n_2}$ 처럼 $n_1$개의 $y_1$과 $n_2$개의 $y_2$의 곱의 형태이다.

(2) 특정 $y_1^{n_1}y_2^{n_2}$항은 1개가 아닐 수 있다. 예를 들어 $n=3$일 경우 $y_1^2y_2^1$과 같은 항은 총 2개가 존재한다. 이 2개 항을 합하여 정리하면 $2y_1^2y_2^1$이라는 항이 전개식에 포함될 것이다.

(3) 그렇다면 $n=3$일 때의 전개식에 어째서 $y_1^2y_2^1$과 같은 항이 2개가 존재하는가?

먼저

$$ (y_1 +y_2)^3=(y_1 +y_2)(y_1+y_2)(y_1+y_2)=ABC $$

와 같은 형태를 생각하자. $A,B,C$의 3곳에서 2개의 $y_1$을 고르고, 남은 3-2=1곳에서 1개의 $y_2$를 골라 $y_1^2y_2^1$를 만드는 경우의 수는 2이기 때문이다.

$$ {3\choose 2}{3-2\choose 1}=\frac{3!}{2!(3-2)!}\cdot \frac{(3-2)!}{1!(3-2-1)!}=\frac{3!}{2!1!}=2 $$

(4) 위 사고를 일반화 하면, $y_1^{n_1}y_2^{n_2}$의 개수는 다음과 같이 정해진다.

$$ {n\choose n_1}{n-n_1\choose n_2}=\frac{n!}{n_1!(n-n_1)!}\cdot \frac{(n-n_1)!}{n_2!(n-n_1-n_2)!}=\frac{n!}{n_1!n_2!} $$

(5) 그리고 모든 가능한 정수 $n_1,n_2$에 대해 $\frac{n!}{n_1!n_2!}y_1^{n_1}y_2^{n_2}$를 합산한 것이 전체 전개식의 내용이다. 가능한 범위는 다음과 같다.

$$ n_1,n_2\ge0,\quad n_1+n_2=n $$

이항계수

이항 전개식의 각 항의 계수

$$ {n\choose n_1}{n-n_1\choose n_2}=\frac{n!}{n_1!n_2!} $$

는 사실 간단히 ${n\choose n_1}$와 같이 $n_1$만을 사용하여 표현할 수 있다. $n-n_1=n_2$이고, ${n-n_1\choose n_2}=1$이기 때문이다.

이제 $n_1$대신 $r$, $n_2$ 대신 $n-r$을 사용하여 이항정리를 간단히 하면

$$ (y_1+y_2)^n=\sum_{r=0}^n {n\choose r}y_1^ {r}y_2^{n-r} $$

여기서 ${n\choose r}$을 이항계수라고 한다.

이분법, 이진적인, 바이너리한 케이스를 나타낼 때 항상 이렇게 식을 간단히 할 수 있다. 성공, 실패의 두가지 케이스를 성공과 Not 성공으로 보는 것이다. 성공확률 $p$라는 하나의 변수를 가지고 실패확률 $(1-p)$도 표현 가능하다. 로지스틱 회귀에서도 마찬가지이다. 이항전개에서는 $r$개의 $y_1$과 $(n-r)$개의 $y_1$이 아닌 것으로 모든 경우를 표현했다.

삼항정리, 다항정리

삼항정리는 $(y_1+y_2+y_3)^n$ 같이 삼항식의 $n$ 제곱의 전개에 관한 정리이다.

이항정리와 같은 논리로

$$ {n\choose n_1}{n-n_1\choose n_2}{n-n_1-n_2\choose n_3}=\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!} $$

만큼의 $y_1^{n_1}y_2^{n_2}y_3^{n_3}$ 항이 전개식에 포함된다. 따라서

$$ (y_1+y_2+y_3)^n=\sum_{n_1,n_2,n_3\ge0}\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!}y_1^{n_1}y_2^{n_2}y_3^{n_3},\quad n_1+n_2+n_3=n $$

이항정리와 삼항정리를 일반화하여 다항정리를 생각해보자.

$$ \begin{split} (y_1+y_2+\cdots+ y_k)^n=\sum_{n_1,n_2,\cdots, n_k\ge0}\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}y_1^{n_1}y_2^{n_2}\cdots y_k^{n_k},\quad n_1+n_2+\cdots+n_k=n \end{split} $$

다항 전개식의 계수 부분, 즉 $\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}$을 다음과 같이 간단히 표기한다.

$$ {n\choose n_1,n_2,\cdots,n_k}:=\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!} $$

이것을 다항계수 (Multinomial Coefficient)라고 부른다.