이항정리

이항정리는 다항식의 거듭제곱을 전개할 때 반드시 사용되므로 따로 정리해둔다. 이항정리는 이항식의 전개를 다루지만, 3개의 항으로 이루어진 식도 이항정리를 여러번 적용해서 얼마든지 전개할 수 있다.

또는 완벽히 전개하지 않고 특정항의 계수만 쏙쏙 빼먹을 수 있다. 바로 이 방법으로 확률변수의 고차 적률과 누율을 다뤘다.

#1. 정의

이항정리(Binomial Theorem; 二项式定理)는 다음과 같이 이항식의 거듭제곱을 전개하는 방법이다.

$$\begin{split} (x+y)^n&=x^ny^0{n\choose n}+x^{n-1}y^1{n\choose n-1}+x^{n-2}y^2{n\choose n-2}+\cdots+x^0y^n{n\choose 0} \\ &=(x^ny^0,x^{n-1}y^1,x^{n-2}y^2,\cdots, x^0y^n)\cdot\left({n\choose n},{n\choose n-1},{n\choose n-2},\cdots,{n\choose 0}\right) \end{split}$$

#2. 예시와 원리

정의는 복잡해 보이나 실제로 해보면서 원리를 이해하면 정말 쉽다. $(x+y)^4$를 전개해보자.

각 항의 개수는 조합의 개수(가짓수)인데 구하는 원리는 다음과 같다. ${4\choose 2}$를 계산해보자.

각 항의 개수는 이항계수(Binomial Coefficient; 二项式系数)라고 한다. 통계학에서 자주 쓰이는 이항분포(Binomial Distribution; 二项分布)의 어원이다.

#3. 파스칼의 삼각형

이항계수를 구할 때 조합의 개수를 구하지 않고 파스칼의 삼각형(Pascal's Triangle; 杨辉三角)이라는 것을 참고할 수도 있다. 이항계수를 삼각형 모양으로 늘어놓은 그림이다.

삼각형을 구성하는 규칙: 다음과 같이 아래에 오는 숫자의 값이 위 2개 숫자의 합이다.

이걸 공식으로 표현하면 다음과 같다. 다만, 도형으로 기억하는 것이 훨씬 편하다.

$${n\choose k}={n-1\choose k-1}+{n-1\choose k}$$